Actu d'actuaires

Une modélisation simple pour le risque de pandémie

Nous avons discuté ici la mise en place d'un modèle interne partiel pour le risque de pandémie dans le cadre de Solvabilité 2. Il existe assez peu de modèles proposés dans la littérature dans le contexte spécifique de Solvabilité 2.

Ce travail récent propose un modèle simple pour mesurer le besoin en capital pour des risques décès et arrêt de travail dans le cadre d'un portefeuille de prévoyance.

Il corrige en particulier les erreurs du modèle proposé dans cet article qui le rendent inapplicable en pratique.

ORSA épargne : quels indicateurs de risque ?

Nous présentions dans un précédent billet une méthodologie de calcul basée sur des sélections de trajectoires. L'idée de cette méthode est de déterminer, en amont des simulations primaires, les simulations secondaires pouvant s'évérer pertinentes à suivre dans le cadre du processus d'ORSA. Nous présentons ci-après un ensemble de indicateurs quui pourront être suivis :

• Hausse et ou baisse des taux : dépend de l’écart de duration (et de convexité) et de la présence de TMG supérieur à la moyenne des taux courts.
• Baisse du rendement action.
• Baisse globale de la rentabilité du portefeuille (effet combiné d’une hausse des taux et d’une baisse du rendement action et immobilier).
• Hausse des spread (sur les obligations d’état et les obligations privées).
• Hausse ou baisse des rachats.
• Proxy de MCEV.

Ce dernier indicateur nous semble particulièrement intéressant dans le sens où il peut être retenu quel que soit le profil de risque de la compagnie.

Dans une logique de prise en compte du principe de proportionnalité, le proxy retenu sera plus ou moins élaboré : de la simple application des principes IFRS 4 phase 1 à une application plus élaborée de méthodes de réplication par formules fermées.

Solvabilité 2 et la crise des dettes souveraines

La crise sur les dettes souveraines (abordé notamment dans ce blog ici et là) met à mal le référentiel prudentiel Solvabilité 2 qui n’avait pas prévu de telles situations. La situation récente - en particulier dans les pays du sud de l’Europe - est caractérisée par :
    - une baisse des taux swaps (qui sont utilisés comme taux d’actualisation des engagements d’assurance)
    - et en parallèle une hausse des taux govies (dans lesquels les assureurs ont investi).

La conséquence de cette situation sur le référentiel Solvabilité 2 est d’avoir :
    - une hausse des engagements d’assurance ou BEL (suite à la baisse du taux swap),
    - une baisse de la valeur de marché des actifs (suite à la hausse des taux govies),
    - in fine, une difficulté à couvrir les exigences de SCR.
 
Afin de contourner cette problématique, Omnibus 2 a introduit la notion de Prime Contra-cyclique (CCP) qui se déclenche dans des situations de marchés stressés et qui est une composante qui se rajoute aux taux swaps pour former le taux d’actualisation. Cette composante additionnelle au taux d’actualisation permet d’éviter la dégradation des ratios de couverture dans la situation actuelle.

A ce stade des travaux, les textes réglementaires ne définissent pas précisément la méthode de calcul de la CCP, mais il semblerait envisageable de définir cette dernière selon la formule suivante :
    - CCP = LP + max (0, Ygov(t)-swap’(t))
    - où LP = Liquidity Premium, Ygov = taux ECB des états notés AAA et Autres, Swap’ = taux swap diminué de 10bps au titre du spread de crédit

L’ajout d’une composante de type CCP (ou LP) aux taux swaps semble toutefois en contradiction avec les principes fondamentaux de cohérence avec des valeurs de marché de Solvabilité 2, dans la mesure où cela signifierait que les marchés ont tort et qu’ils se corrigeront dans le futur, … ce qui n’est pas nécessairement le cas !

La CCP conduit in fine à ignorer (ou du moins considérer comme temporaire) le risque de crédit sur les obligations d’état de la zone Euro. Cette CCP peut ainsi amener à des mauvaises pratiques de gestion des risques dans la mesure où les compagnies continuent à être incitées à investir dans des obligations d’état et à ignorer les risques de défaut / d’inflation / et de liquidité sur ces dernières.

A ce titre, peut être aurait il été mieux valu ne pas introduire la CCP et accepter que le référentiel Solvabilité 2 conduise à des ratios de couverture affaiblis en période de crise ?

Billet rédigé par Arnaud Burger

Quel type de modèle pour un ORSA épargne ?

Dans la continuité du billet relatif à un exemple de modèle d'ORSA établi sur la base de formules fermées, nous revenons dans ce billet sur les différents types de modèle envisageables.

D'une manière synthétique, trois types de méthodologies sont envisageables :

1. Calculer sur la base de simulations primaires et secondaires le quantile à x% du ratio de couverture sur toute la durée du plan stratégique. Ceci revient à une complexité similaire à celle d’un modèle interne .
2. Mener l’analyse sur la base de formule fermées telles les portefeuilles de réplications, les méthodes curve fiting et Least Square Monte Carlo (LSM) ou bien des proxies transformant les provisions solvabilité 1 en provisions solvabilité 2. L’ajustement étant très coûteux, ces méthodes ne seront retenues que dans des cas d’une utilisation intensive du modèle d’ORSA.
3. Travailler sur la base d’une méthode de scénarios ou de sélections de trajectoires.

Nous présentons par la suite un exemple de modèle basé sur des sélections de trajectoires.

Les interactions actifs-passifs ainsi que les nombreux facteurs de risques (aléas financiers, TMG, rachats conjoncturels, écarts de duration et de convexité) empêche de déterminer avec exactitude les scénarios adverses au-delà de 1 an. Aussi, une méthodologie mélangeant simulations dans les simulations et sélection de trajectoires pourra être retenue :

1- Projeter un grand nombre de valeurs du bilan en normes françaises (ainsi que la valeur de marché de l’actif ) sur la durée du plan stratégique



2 - Sélectionner, via des indicateurs de risques, les trajectoires défavorables

3 - Calcul des ratios de couverture relatifs à ces trajectoires défavorables

Si cette mécanique présente l'avantage de limiter les temps de traitements, elle nécessite de définir proprement les indicateurs de risques pertinents (quand bien même des trajectoires "à dire d'experts" peuvent être retenues). On notera cependant que ces indicateurs de risques permettront également de suivre l'évolution du niveau de risque porté par la compagnie et seront donc nécessaire à la mise en place du processus global de gestion des risques.

Modèle interne pour des contrats d'épargne, suite...

On a évoqué dans les deux billets précédents (ici et là) des approches alternatives à la simulation directe, qui pose de nombreuses difficultés pratiques. Parmi ces alternatives l'algorithme LSMC apparaît prometteur, quoi que délicat à calibrer.

Il est intéressant de noter que la société Barrie & Hibbert utilise dorénavant cet algorithme dans une offre commerciale et justifie sa démarche de la manière suivante :

Calculation of economic capital for complex life insurance liabilities requires a nested stochastic approach, but the considerable run-times associated with many asset-liability models can mean that this technique is not always practical. As a result many insurers are seeking next generation modelling solutions to give them fast and accurate results in order to manage their businesses, whilst meeting the growing burden of regulatory compliance.

Nous pensons quant à nous que les techniques basées sur des approximations analytiques du SCR sont les plus prometteuses.

Un modèle ORSA pour des contrats d'épargne

Le calcul du SCR d'un portefeuille d'épargne dans une approche modèle interne nécessite, on l'a vu ici, de mettre en oeuvre des techniques d'optimisation des calculs.

La mise en place d'un modèle ORSA ajoute un degré de complexité supplémentaire, puisqu'il s'agit de projeter les distribution du SCR et du taux de couverture (ou du moins certains points bien choisis de ces distributions) sur l'horizon du plan stratégique.

Si des solutions simples peuvent être proposées en assurance non-vie (voir par exemple ce modèle), la complexité des interactions actif-passif rend la tâche a priori plus complexe en assurance vie et notamment en épargne.

Sur la base du contat que la valeur best estimate des engagements d'un contrat d'épargne se situe en général dans une fourchette de 95 % à 105 % de la valeur de la provision mathématique, ce travail propose, via une approximation analytique du coefficient permettant de transformer une PM en best estimate, un cadre permettant de projeter des SCR sans contrainte significative de temps de calcul.

Ce type d'approche permet de répondre dans de bonnes conditions aux exigences de l'ORSA.

Un modèle interne pour le risque de pandémie ?

Le formule standard de Solvabilité 2 propose d'évaluer le montant du capital de solvabilité requis associé au risque de pandémie via la prise en compte d'un taux de mortalité additionnel de 0,15%. Ce taux est issu d'une étude réalisée par Swiss Re. Ce niveau de surmortalité se trouve être le plus faible que l'on puisse trouver dans les différentes études sur le sujet (voir par exemple l'article de V. Guette paru dans le BFA n°19).

Dès lors, le régulateur peut être tenté, dans le cadre de la mise en place d'un modèle interne pour des garanties en assurance de personne, d'exiger l'intégration de ce risque dans le périmètre du modèle. Mais, comme pour le risque de marché, les déterminants du risque de pandémie sont largement exogènes par rapport à l'entité (pour une discussion des conséquences de cette remarque pour le risque de marché, on peut par exemple se reporter à cet article).

En effet, le taux de surmortalité associé à la pandémie bicentenaire est en pratique expliqué par le produit d'un taux d'infection (proportion de personnes infectés par le virus dans la population) et d'un taux de létalité (taux de mortalité des personnes infectées). Ces éléments ne dépendent que de facteurs exogènes pour l'assureur et globaux. La principale interaction avec la structure d'un portefeuille se trouve dans le fait qu'aussi bien le taux d'infection que le taux de létalité dépendent de l'âge et que donc le taux moyen de 0,15% issu de l'approche standard pourrait être modulé en pondérant des taux différenciés par classe d'âge.

Mais il ne revient pas à un assureur en particulier de fixer ces taux : si d'ailleurs tel était le cas et si le modèle de cet assureur était pertinent, il devrait s'appliquer à l'ensemble de la place ; en effet, comment justifier deux valeurs différentes d'un facteur exogène global ?

Dès lors, il nous semble impossible d'inclure le risque de pandémie dans un modèle interne, sauf à ce que la modélisation consiste à pondérer des taux de surmortalité différenciés par âge, taux que le régulateur devrait alors nécessairement homologuer pour l'ensemble de la place.

Corrélation, dépendance et causalité

Ce sujet fait l'objet de nombreuses réflexions (voir par exemple le billet que lui a consacré A. Charpentier sur son blog), mais aussi de nombreuses et récurrentes erreurs dans les modèles ; c'est pourquoi nous apportons ici une contribution supplémentaire.

1-Que mesure le coefficient de corrélation ?

Le coefficient de corrélation linéaire (introduit par K. Pearson en 1896) a pour objectif de quantifier le degré de dépendance entre deux variables. La pertinence de cette mesure a très vite été contestée (notamment par M. Fréchet en 1934) et il s'est avéré que le coefficient de corrélation n'est pas au sens mathématique du terme une mesure de dépendance. Il suffit pour s'en convaincre de considérer une variable symétrique X et Y=X^2. Y est évidemment extrêmement dépendante de X, puisque la connaissance de X détermine Y, mais pourtant r(X,Y)=0. D'autres mesures mathématiquement rigoureuses de la dépendance ont depuis été introduites (le t de Kendall et le r de Spearmann étant les plus connues). Le coefficient de corrélation linéaire ne mesure la dépendance que dans le cas très particulier de vecteurs gaussiens.

Au global, on peut conclure que la référence au taux de corrélation pour mesurer l'intensité de la dépendance entre variables aléatoires est très contestable et que l'usage de cette mesure conduit à des erreurs d'interprétation récurrentes.

2- Dépendance et causalité

Une fois mesurée l'intensité de la dépendance entre deux variables, une autre question est de savoir s'il existe un lien de causalité entre ces variables. Si l'existence d'un lien de causalité induit la dépendance entre les 2 variables, la réciproque n'est pas vraie.

Ainsi les 3 situations ci-dessous (reprises de MOORE et McCABE [2001]) représentant différents liens de causalité (matérialisés par les flèches) peuvent conduire à une mesure de dépendance identique :




Une autre manière de se convaincre que la mesure d'une dépendance ne permet en aucun cas de conclure à un lien de causalité est de remarquer que les mesures de dépendance sont symétriques, mais pas les liens de causalité, qui ont évidemment un sens.

3- En conclusion

Déduire de l'existence d'une corrélation entre deux séries de données une relation de causalité entre les deux variables constitue une erreur de raisonnement : l'existence de la corrélation implique simplement que les deux variables ne sont pas indépendantes, mais ne renseigne en rien sur un éventuel lien de causalité. On sait d'ailleurs depuis les travaux de K. Popper sur la connaissance que celle-ci étant un processus hypothético-déductif, l'observation des seuls faits ne permet pas de faire des prédictions.

Références :

FRECHET M. [1934], « Sur l’usage du soi-disant coefficient de corrélation », Rapport pour la 22e session de l’IIS à Londres, Bulletin de l’IIS.

MOORE D.S., McCABE G.P. [2001] Introduction to the Practice of Statistics, W.H. Freeman & Company, New York, 3ème édition, page 208

La gestion CPPI revisitée par la théorie de la viabilité

Nous évoquions ici-même il y a quelques jours la parution du livre de J.P. Aubin sur les dernières avancées de la théorie de la viabilité. Beaucoup moins ambitieux, mais illustratif et plus facile d'accès, l'article

Stochastic and Tychastic Approaches to Guaranteed ALM Problem

propose une version viabiliste du classique problème de gestion d'un fonds par la règle du CPPI.

Elle permet de calculer à la date d’investissement, en fonction d’un plancher et d’un modèle de prévision des bornes inférieures des rendements futurs du sous-jacent,  l’investissement garanti minimum (fonds propres) et la règle de gestion fournissant l’exposition (ou le nombre de titres) à chaque date jusqu’au temps d’exercice lorsque sera contenu le rendement.   Cette règle garantit que quelque soit le rendement compatible avec le modèle de prévision, la valeur du portefeuille sera supérieure au plancher.

L'approche tychastisque, au lieu de définir plus ou moins arbitrairement une distribution des rendements, s'appuie sur la donnée de la "pire situation possible", qui s’exprime par les bornes inférieures des rendements (qui peuvent être calculées de diverse manière, à l’aide de modèles probabilistes  ou statistiques, des procédés d’extrapolation, etc.).  Les rendements supérieurs à ces bornes inférieures décrivent dans cet exemple simple la « correspondance tychastique », autre façon de décrire l’incertitude. La connaissant, et connaissant les contraintes décrites par le plancher, le  « noyau de viabilité garanti » calculé par ces techniques fournit l’investissement garanti minimum et, surtout, la règle de gestion. Puisque l’approche tychastique permet d’utiliser à chaque instant le rendement réalisé (supposé être supérieur à la borne inférieure décrivant le « pire des cas »)  auquel on associe la valeur effective du portefeuille, et non sa moyenne,   qui permet de garantir la non-ruine. Le fait de devoir décrire ce que l'on considère comme "le pire des cas" est dans l'esprit identique à une approche par scénario (le scénario unique du QIS typiquement) et est finalement une manière  plus directe de traiter le risque.

Le cadre proposé peut s'étendre à de nombreuses problématiques d'assurance : détermination d'une allocation stratégique, construction d'une couverture dynamique pour des garanties dans un contrat variable annuities, etc.

Mortalité best estimate ?

La construction d'hypothèses de provisionnement best estimate est un sujet majeur de la constitution d'un dispositif de calcul de provisions techniques dans le cadre de Solvabilité 2.

On doit remarquer que le fait, pour une hypothèse potentiellement soumise à une incertitude comme une table de mortalité, le caractère best estimate de l'hypothèse dépend du contexte dans lequel elle est utilisée.

En effet, pour un risque en cas de décès, il s'agit d'estimer sans biais des taux de décès alors que pour provisionner des rentes ce sont des espérances de survie qu'il faut estimer sans biais. La transformation de l'une à l'autre n'étant pas linéaire, il n'est pas possible de réaliser ces deux contraintes en même temps (voir par exemple une illustration ici).