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Prendre en compte les chocs systématiques liés à la mortalité

La mise en place d'un modèle interne partiel gérant le risque de souscription nécessite de prendre en compte les aléa systématiques impactant les tables d'expériences nécessaires à l'évaluation des engagements du passif. Afin de modéliser de manière fine le risque de table, il est nécessaire d'en d'appréhender la nature et l'impact. 

Le risque de table peut provenir de trois sources :

• Tout d'abord, il peut être la résultante de variables exogènes venant perturber (avec la plupart du temps un effet résiduel) la tendance d'évolution de la table au cours du temps. Ceci se traduit par une source d'incertitude venant perturber la valeur moyenne de la table de référence.Ils sont d'autant plus complexes à modéliser qu'il introduisent une corrélation entre les diverses tables (une dérive de la mortalité présentera un impact sur l'évolution des taux d'entrée en invalidité ou sur les lois de maintien en invalidité ou dépendance). A titre d'exemple, on peut citer le cas de l'introduction des antibiotiques en 1950. Cette avancée de la médecine a entraînée une forte diminution de la mortalité instantanée, qui n'était pas prévisible a priori. De ce fait, on peut considérer que des variables exogènes (type réchauffement climatique) présenteront un impact sur l'évolution future de la mortalité. Cependant la prise en compte d'un tel aléa se heurte à deux phénomènes. Tout d'abord, peu de modèles sont à même de le faire, et de plus ils ne présentent pas le caractère justifiable nécessaire à leur prise en compte dans le cadre d'un modèle interne.

• Ensuite, le risque de table peut être la résultante d'une incertitude liée à l'estimation même des paramètres. Ceci se traduit par une oscillation de la réalité autour de la surface moyenne définit par la table d'expérience.Dans ce cas précis, les diverses tables construites (mortalité des rentiers, frais d'obsèques, mortalité des invalides...) sont soumis à des chocs indépendant les uns des autres. Cette source d'incertitude peut être plus aisément modélisée sur la base de l'étude statistique des aléas obtenus lors de l'estimation des paramètres de la table de référence (que la construction soit paramétrique ou non).

• Enfin, il peut être la résultante de chocs violents, venant perturber annuellement (avec peu d'effet résiduel) les tables d'expériences. Cette source d'aléa s'observe principalement sur les tables de mortalité et s'apparente plus à un risque catastrophe qu'à un risque de mortalité ou de longévité. Il faudra donc se tourner vers les modèles type pandémie afin de les intégrer.

Importance du contexte dans l'analyse de la mortalité

Comme le souligne par exemple Omran [1971] dans sa théorie de la transition épidémiologique (dans laquelle il distingue trois étapes dans l'évolution de la mortalité), l'évolution du niveau et des causes de mortalité varie sensiblement selon le contexte (d'ordre historique, politique, socio-économique, culturel, environnemental, etc.).

Aussi, il existe de nombreuses publications sur le lien entre la mortalité et le contexte dans laquelle elle évolue. En voici deux, présentant l'avantage d'être applicables à de nombreux groupes de populations :

- Le premier est l’article de Sotero [2006] qui présente la théorie des traumatismes historiques. Le principe de cette théorie est que les populations soumises à un lourd traumatisme historique (colonialisme, esclavage, guerre, génocide, acculturation brutale, etc.) présentent une prévalence supérieure de certaines conditions de vie néfastes et de certaines maladies mortelles, même plusieurs années après la survenance du traumatisme. Ainsi, cette théorie, qui présente un caractère pluridisciplinaire, peut par exemple être utile dans le cadre de travaux sur l'évolution de la surmortalité par blessures volontaires au sein des minorités socioculturelles (sursuicide en Bretagne - sur ce point, voir également l'article publié dans le BFA n°15 -, surmortalité par violence dans des régions en conflits ethniques, etc.). Malgré quelques chiffres sur la surexposition des Amérindiens des États-Unis à certaines causes de décès (comparé à la moyenne des États-Unis, leur risque de décès par alcoolisme est supérieur de 770 %, et ce chiffre est de 650 % pour la tuberculose, 420 % pour le diabète, 280 % pour les accidents et 190 % pour les suicides), on regrettera que cette étude soit essentiellement qualitative et ne traduise ainsi pas de manière quantitative l'impact du traumatisme considéré.

- Le deuxième article est celui de Gouveia et al. [2003]. Cet article examine la sensibilité de la mortalité à São Paulo (Brésil) suite à une variation à la hausse ou à la baisse de la température, en distinguant différentes causes de mortalité et en ventilant la population étudiée par groupe d’âge et par catégorie socioéconomique. Cette étude est particulièrement intéressante dans l'analyse prospective de la mortalité au sein des pays les plus pauvres (pays où les conséquences des changements climatiques devraient être les plus importantes et où les capacités d'adaptation sont les plus faibles).

Mortalité par cause : le programme Cosmop

Nous abordions il y a quelques semaines le sujet de l'analyse de la mortalité par cause, dans ce billet. Le programme Cosmop de l'INVS apporte des éléments intéressants, dans un rapport publié en 2006.

Ce programme consiste à mettre en place une cohorte de surveillance systématique de la mortalité par profession et par secteur d’activité en population générale. L'étude ’est appuyée sur l’Echantillon démographique permanent (EDP), représentant environ 1 % de la population française, constitué par l’Insee en 1968 et alimenté au cours du temps des informations sociodémographiques et professionnelles issues des bulletins d’état-civil et de recensement. La cause de 97% des décès observés a été retrouvée. Des risques relatifs (RR) de décès ont été systématiquement calculés par cause pour chaque secteur d’activité par rapport aux autres secteurs.

La mortalité globale et par cause de décès chez les 137 860 hommes (35 968 décès) et les 105290 femmes (13797 décès), ayant eu une activité professionnelle connue au cours de la période d’étude et retenus après validation des données, est présentée. On observe une surmortalité relative plutôt marquée dans les secteurs industriels et de production, tandis qu’une sous-mortalité relative est observée dans le secteur agricole et pour certains secteurs du commerce et des services.

L'intérêt de cette étude est de proposer pour la première fois des indicateurs de mortalité par cause et par secteur d’activité professionnelle pour l’ensemble de la population française.

Les tables réglementaires TGH/F 05 sont-elles prudentes ?

En comparant sur un portefeuille de rentes la provision projetée sur un an sur la base de la table théorique avec la provision calculée au 31/12 avec les survivants on définit un solde technique qui permet d'évaluer, sur la base de la comparaison sur un exercice de la mortalité réelle avec la mortalité anticipée par la table, le caractère plus ou moins prudent de celle-ci.

Cet exercice mené, avec les tables réglementaires, conduisait en 2007 à une perte technique comprise entre 0,15 % et 0,30 % des provisions d'ouverture, selon le portefeuille. En 2008, cette perte persiste et s'établit entre 0,25 % et 0,40 % de la provision.

L'ampleur non négligeable de ces écarts peut étonner, compte tenu de la prudence a priori intégrée dans les tables TGH/F 05 lors de la construction. Il reste à voir s'il ne s'agit que d'écarts de niveau intial et si la tendance va les corriger dans les prochaines années, ou si il y a là le signe d'une inadéquation de ces tables.

Analyse de la mortalité par cause

Comme on l'a déjà évoqué ici, l'anticipation de l'évolution à venir de la mortalité constitue un enjeu important de l'appréciation des provisions best estimate sur les portefeuilles de retraite et de prévoyance.

Cette problématique peut être abordée via la décomposition de la mortalité par cause de décès, en cherchant à projeter l'évolution des différentes causes de manière spécifique. Pour qu'une telle démarche soit pertinente, elle doit toutefois intégrer deux contraintes :

    - prendre en compte les évolutions attendues du fait de l'évolution des pratiques médicales ou de politiques de santé publique ;
    - modéliser la dépendance entre les différentes causes de décès.

On peut ainsi noter, à partir de données australiennes, que seulement 25 % des décès sont dus à une cause unique.

Un récent rapport de groupe de travail rédigé par des étudiants de l'ISFA dresse un panorama utile de l'analyse de la mortalité par cause et des manières d'en aborder la modélisation. Il complète l'étude proposée dans ce mémoire.

Ces documents fournissent une référence utile pour une réflexion sur le sujet.

Modélisation des risques liés à la mortalité dans le cadre d'un modèle interne

Comme nous vous l'indiquions dans un précédent billet, le calcul via un modèle interne du SCR d'un contrat d’assurance vie à garantie pluri-annuelle nécessite de modéliser la mortalité future. Afin de capter toute la volatilité pesant sur la mortalité, cette modélisation doit intégrer deux phénomènes :

• l'incertitude pesant sur la tendance d'évolution de la mortalité (risque systématique de mortalité) ;

• les chocs extrêmes de mortalité dus aux épidémies.

Ces deux phénomènes sont difficilement modélisables à l'aide d'un unique processus. En effet, un modèle permettant de prendre en compte le risque systématique de mortalité n’est pas à même de simuler des perturbations extrêmes. Il est donc nécessaire de calibrer dans un premier temps deux processus :

• Un premier permettant de modéliser le risque de mortalité. On peut alors se tourner vers des processus de mortalité tel le modèle de Lee Carter ;

• Un second permettant de modéliser le risque catastrophe. On peut se tourner vers les processus de poisson composés, ces derniers étant adaptés à la modélisation de phénomènes rares et extrêmes.

Un fois les deux processus ajustés, il est nécessaire de les combiner. L’étude des 5 grandes pandémies du XX^ème siècle indique qu'elles ont impacté de manière additive la mortalité et non de manière multiplicative. Ainsi le processus global sera obtenu en ajoutant au processus de mortalité un processus à saut. In fine. Ce dernier sera à même de calculer les chocs de longévité, de mortalité et de catastrophe des contrats d’assurance vie à garantie pluri-annuelle

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Choix de l'hypothèse de mortalité dans un modèle interne

Les conséquences de l'article 118 du projet de directive (sur les normes de qualité statistique) sur le choix de l'hypothèse de mortalité doivent être appréciées en fonction du critère risque annuel / risque pluri-annuel

    - l'engagement est annuel : c'est par exemple le cas d'un contrat de temporaires décès ; dans ce cas il n'y a pas de provisions (ie le tarif reflète le risque pour l'année en cours) et le besoin en capital est associé à un risque d'échantillonnage ; on utilise donc une table du moment ;
     - l'engagement est pluri-annuel : dans ce cas, outre le risque d'échantillonnage, l'assureur porte également des risques systématiques à intégrer dans le besoin en capital : risque de se tromper dans la dérive de mortalité, risque de déviation aléatoire par rapport à cette dérive.

Ainsi, dans ce second cas, un modèle prospectif semble incontournable si l'horizon de projection est supérieur à 5 ans.

Biais de l'estimateur de Kaplan-Meier

L'estimateur de Kaplan-Meier possède des "bonnes propriétés" qui en font l'estimateur le plus utilisé pour l'estimation non paramétrique d'une fonction de survie (voir par exemple ce billet et les ressources associées).

Toutefois, il présente un biais négatif, c'est à dire qu'il sous-estime en moyenne la vraie valeur de la fonction de survie. Dans un contexte de rentes cela peut s'avérer pénalisant.

Il existe des méthodes, utilisant la technique du Jackniffe (introduite par Quenouille en 1956) pour diminuer ce biais.

Ces techniques sont présentées en détail dans l'article :

STUTE W. [1995] The statistical analysis of Kaplan-Meier integrals. Analysis of censored data (Pune, 1994/1995), 231--254, IMS Lecture Notes Monogr. Ser., 27, Inst. Math. Statist., Hayward, CA,  1995.

qui pourra être utile pour les applications pratiques dans un contexte de rentes.

Construire une table de mortalité prospective d'expérience

Comme on l'a déjà indiqué ici, l'appréciation pertinente du niveau de la longévité pour un portefeuille de rentiers devient essentielle dans le contexte des dispositifs IFRS et Solvabilité 2 pour construire des "best estimate" qui aient du sens.

Toutefois, la taille restreinte des portefeuilles rend inopérantes les approches endogènes de construction de tables prospectives à partir des seules données. Il convient donc de se tourner vers des techniques de positionnement par rapport à une référence externe, telle que les tables TGH/F 05.

La régression des logits des taux bruts par rapport aux taux de référence est une modélisation à la fois simple est efficace qui permet d'une part de positionner le niveau de la mortalité du portefeuille par rapport à la référence choisie et d'autre part de se raccrocher à la tendance issue de la référence pour l'évolution future des taux.

L'expression du modèle est :

 

 

 

La question délicate est le choix du critère d'optimisation à retenir. Dans la pratique un critère de type Khi-2, faisant intervenir comme pondération l'exposition au risque constitue un bon choix, au moins dans le cas de populations masculines. Pour des populations féminines, pour lesquelles le nombre de décès est très faible lorsque les expositions (aux âges plus jeunes) sont importantes et augmente lorsque les expositions sont faibles, l'utilisation d'un tel critère peut toutefois conduire à sous-estimer le niveau de la mortalité de manière très sensible. Dans ce cas on préférera un critère de classiques moindres carrés non pondérés.

Mesure du risque systématique de mortalité

Le risque de longévité fait aujourd'hui l'objet de nombreux travaux ; la journée organisée par AXA sur le sujet (voir ce billet) propose une synthèse de ces travaux, qui s'attachent pour l'essentiel à imaginer des modélisations du risque systématique de mortalité et à en examiner les conséquences sur la titrisation de ce risque.

On peut toutefois s'étonner, alors que toutes les études empiriques mettent en évidence le peu de robustesse des modèles (nous abordions ce sujet il y a quelques semaines ici) que le risque de modèle ne soit pas abordé du tout.

Ainsi, les approches proposées, mobilisant souvent des outils probabilistes très élaborés, s'appuient sur l'hypothèse forte que les données passées sont la seule source d'information pertinente pour calibrer l'incertitude sur la mortalité future. Ceci nous semble encore une fois trop restrictif et il serait utile de développer des modèles prenant en compte des avis d'experts (voir ce papier).