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Dépendance et liquidité : 2 aspects des ESG à améliorer ?

Si l’identification des risques à intégrer à un générateur de scénarios économiques (ESG) peut être considérée comme relativement aboutie, la crise financière a mis en évidence certaines faiblesses dans leur modélisation. Deux éléments sont ainsi mis en évidence et vont sans doute donner lieu à de nombreux développements dans les prochaines années :

• La structure de dépendance entre les actifs ;
• Le risque de liquidité, intimement associé à la gestion efficace des couvertures financières.

La quasi-totalité des modèles actuels s’appuient sur des structures de dépendance dans lesquels la corrélation tient une place centrale ; de nombreux travaux, dont on pourra trouver une synthèse dans Kharoubi-Rakotomalala [2009], mettent en évidence le caractère dynamique de l’intensité de la dépendance. En pratique, l’intensité de la dépendance augmente dans les situations défavorables, ce qui limite l’efficacité des mesures de diversifications calibrées avec des structures ne prenant pas en compte cet effet. L’introduction de structures de dépendance non linéaires intégrant de la dépendance de queue apparaît ainsi comme un élément incontournable de l’évolution des générateurs de scénarios économiques.

Le risque de liquidité est également apparu comme un élément majeur de la crise des subprimes et, plus généralement, de la crise financière qu’elle a engendrée. Au moment où la généralisation des approches market consistent impose d’évaluer les options et garanties financières des portefeuilles dans la logique de détermination du coût de leur couverture, encore faut-il pour que le montant obtenu ait du sens que la couverture puisse être réajustée régulièrement, ce qui n’est possible qu’avec des actifs liquides. Cela impose par conséquent si ce n’est une adaptation de l’approche dans le cas d’actifs peu liquides, à tout le moins la prise en compte d’une prime de liquidité pour refléter dans le montant affiché ce risque d’impossibilité de gérer idéalement la couverture.

Utilisation des déflateurs

La mise en œuvre d'un modèle actif / passif dans le cadre de Solvabilité 2 conduit, si l'on retient l'utilisation de l'approche risque neutre pour l'évaluation des engagements "couvrables", à devoir utiliser des "simulations dans les simulations" (SdS). Cela s'avère contraignant en termes de volume de calcul et peut conduire à des temps de traitement conséquents.

Des techniques d'optimisation complexes doivent être mises en place pour implémenter une approche SdS, par exemple en suivant la logique présentée dans cet article.

L'utilisation de déflateurs (que nous avons déjà abordée ici et qui est décrite par exemple dans ce mémoire) permet de contourner cette difficulté en travaillant uniquement avec la probabilité historique.

Au surplus, cette approche présente l'avantage de fournir une description explicite des primes de risque.

Elle doit donc être examinée avec soin et peut constituer une alternative pertinente, malgré les difficultés d'estimation des déflateurs.

Provisionnement de l'incapacité

Le calcul des provisions pour les sinistres en cours en incapacité de travail est a priori un exercice élémentaire, puisqu'il s'agit simplement de déterminer l'espérance des flux futurs de prestations actualisés.

En pratique toutefois, deux difficultés apparaissent :

    - l'identification des sinistres en cours à la date d'inventaire n'est pas simple ;
    - l'incertitude sur le montant de la provision est importante du fait de la forte concavité de la loi de maintien.

Le premier point est en général résolu en déterminant arbitrairement les sinistres à provisionner comme étant ceux pour lesquels un paiement a été effectuée dans les N mois précédant l'inventaire. Cela implique incidemment qu'une loi de maintien intrinsèquement imprudente peut toutefois être certifiée pour le calcul des provisions, en lui adjoignant cette règle pour la définition des sinistres en cours, avec un N assez grand : cela conduit à provisionner des sinistres clos et vient ajouter de la prudence globale au calcul.

Pour ce qui concerne l'incertitude associée au calcul, si l’on s’intéresse à l’estimation du montant des paiements à effectuer dans les 12 mois suivant la date d’inventaire on peut retenir une incertitude  de plus ou moins 8 % avec 2 500 sinistres et de plus ou moins 25 % avec 250 sinistres (l'incertitude est mesurée par la demi-largeur de l'intervalle de confiance à 95 %).

La conséquence la plus directe en est que la détermination d'une loi de provisionnement d'expérience est délicate, alors même que cet exercice devient difficilement contournable dans le dispositif Solvabilité 2.

Nous y reviendrons prochainement.

Variable annuities - intérêt de la couverture dynamique

Les contrats variable annuities présentant un niveau de risque financier élevé pour l’assureur (voir ce billet), la plupart des compagnies américaines couvrent ce risque. Pour ce faire trois techniques sont envisageables :

• réassurer son portefeuille ou faire couvrir son portefeuille par une banque. Compte tenu du coût de la mise en place d’un programme de couverture ainsi que du problème d’admissibilité des engagements de couverture en norme française, faire couvrir son risque par une autre entité peut s’avérer intéressant. Cependant, cette technique diminue les marges de la compagnie et la confronte à un risque de contrepartie ;


• couvrir son portefeuille par le biais d’une couverture statique. Cette technique présente un double inconvénient. Tout d’abord elle implique d’acheter intégralement sa couverture lors de l’émission du contrat et entraîne donc une dépense élevée alors que les marges dues à la vente du contrat s’écouleront dans le temps. De plus, cette technique de couverture présuppose de connaître parfaitement les flux du passif, ce qui peut s’avérer critiquable (risque systémique de mortalité, cadence de rachat des contrats GMWB mal modélisée);

• couvrir son portefeuille par le biais d’une couverture dynamique. Dans ce cas, l’assureur constitue un portefeuille répliquant les mouvements de son passif à court terme. Puis, en ajustant régulièrement son portefeuille de couverture (via l’étude des grecques des deux portefeuilles), l’assureur réplique les mouvements de son passif à long terme. Cette couverture permet de mieux couvrir les risques systémiques et de rachats, tout en présentant un coût qui s’étale sur toute la durée du contrat.

Quoi qu’il en soit, avant de choisir sa stratégie de couverture, il est primordial de définir quel risque la compagnie veut couvrir (sa marge de solvabilité, ses pertes et profits, son résultat en normes IFRS). En effet, couvrir de manière optimale un risque n’entraîne pas obligatoirement une couverture optimale des autres risques.

Modélisation des risques liés à la mortalité dans le cadre d'un modèle interne

Comme nous vous l'indiquions dans un précédent billet, le calcul via un modèle interne du SCR d'un contrat d’assurance vie à garantie pluri-annuelle nécessite de modéliser la mortalité future. Afin de capter toute la volatilité pesant sur la mortalité, cette modélisation doit intégrer deux phénomènes :

• l'incertitude pesant sur la tendance d'évolution de la mortalité (risque systématique de mortalité) ;

• les chocs extrêmes de mortalité dus aux épidémies.

Ces deux phénomènes sont difficilement modélisables à l'aide d'un unique processus. En effet, un modèle permettant de prendre en compte le risque systématique de mortalité n’est pas à même de simuler des perturbations extrêmes. Il est donc nécessaire de calibrer dans un premier temps deux processus :

• Un premier permettant de modéliser le risque de mortalité. On peut alors se tourner vers des processus de mortalité tel le modèle de Lee Carter ;

• Un second permettant de modéliser le risque catastrophe. On peut se tourner vers les processus de poisson composés, ces derniers étant adaptés à la modélisation de phénomènes rares et extrêmes.

Un fois les deux processus ajustés, il est nécessaire de les combiner. L’étude des 5 grandes pandémies du XX^ème siècle indique qu'elles ont impacté de manière additive la mortalité et non de manière multiplicative. Ainsi le processus global sera obtenu en ajoutant au processus de mortalité un processus à saut. In fine. Ce dernier sera à même de calculer les chocs de longévité, de mortalité et de catastrophe des contrats d’assurance vie à garantie pluri-annuelle

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Quelle approche pour modéliser la dépendance dans un modèle interne ?

Un modèle interne s'appuie d'une manière ou d'une autre sur la description d'un certain nombre de facteurs de risques, exogènes ou endogènes, et de leur structure de dépendance. Depuis les travaux fondateurs de la théorie moderne du portefeuille en 1952, l'hypothèse que les facteurs de risque sont conjointement distribués selon une loi normale a été largement utilisée. Cette hypothèse ramène l'analyse de la dépendance entre les facteurs à la mesure des corrélations existant entre eux.

L'intérêt récent  pour la dépendance non linéaire conduit à de nombreuses critiques de l'hypothèse gaussienne, et ce de manière a priori d'autant plus pertinente lorsqu'il s'agit d'estimer un quantile d'ordre élevé (99,5 % par exemple) dans le cadre du calcul d'un SCR. En effet, cette hypothèse conduit à sous-estimer les événements extrêmes, et il est facile de construire des exemples montrant la forte sensibilité du niveau du SCR à la forme de la queue de distribution.

Mais faut-il pour autant renoncer à l'hypothèse gaussienne ? Un examen attentif conduit à une appréciation plus nuancée sur les exemples illustratifs pourraient donner à penser. On peut déjà observer qu'elle permet d'intégrer dans la modélisation un nombre élevé de facteurs : en assurance crédit, le modèle développé par KMV intègre ainsi environ 120 facteurs dans le calcul de la part de risque systématique dans la probabilité de défaut d'un débiteur. Intégrer autant de facteurs avec des modèles utilisant des copules non gaussiennes semble pour l'instant hors de portée. Et la corrélation, avec toutes les limites de cette notion, reste un moyen accessible et simple de quantifier l'intensité et le sens du lien entre les facteurs.

Pour contourner la sous-estimation induite par le choix de l'hypothèse gaussienne, deux approches nous semblent possibles :

    - calibrer la matrice de corrélation pour compenser cet effet en aggravant l'intensité de certaines liaisons critiques ;
    - conserver l'hypothèse de dépendance gaussienne, mais utiliser des lois marginales non gaussiennes pour les facteurs.

Cette dernière approche, connue sous le nom de méthode NORTA ("normal to anything", voir ce document pour une présentation théorique et cet exemple) nous semble devoir être privilégiée dans les réflexions autour de la modélisation d'un structure de dépendance à la fois riche et opérationnelle.

Distribution des trajectoires de l'actif dans un modèle actif / passif dynamique

Dans le cadre de la modélisation dynamique des interactions actif / passif en assurance vie, le niveau de certaines hypothèses du passif, telles que les lois de rachat, peut être impacté par le niveau de la performance réalisée à l'actif. Lorsqu'une approche par simulation est mise en œuvre, cela a pour conséquence que le passif doit être simulé pour chaque trajectoire d'actif, ce qui en pratique limite le nombre de trajectoires d'actif à prendre en compte. Il est donc nécessaire de définir une règle de simplification de la distribution des trajectoires d'actif.

Cette simplification est usuellement effectuée de la manière suivante :

    - sélection d'une mesure numérique associée à chaque trajectoire, comme par exemple la valeur au terme actualisée ;
    - regroupement des trajectoires par "paquets" associés chacun à un quantile de la mesure précédemment définie ;
    - calcul de la trajectoire moyenne dans chacun des paquets.

Ensuite, un calcul de passif est effectué pour chacune des trajectoires moyennes ainsi déterminées.

Cette démarche fait apparaître plusieurs erreurs dans les résultats :

    - en premier lieu le choix du critère, qui va conditionner la manière de regrouper les trajectoires ;
    - puis une perte d'information liée à la simplification de la distribution des trajectoires ;
    - enfin, une erreur d'échantillonnage : la discrétisation de la distribution effectuée se basant sur un nombre fini de trajectoire, des fluctuations d'échantillonnage subsistent à l'intérieur de chaque paquet de trajectoires.

Un modèle pertinent ne peut faire l'économie de l'analyse de l'impact de ces erreurs sur les résultats.

Biais de l'estimateur de Kaplan-Meier

L'estimateur de Kaplan-Meier possède des "bonnes propriétés" qui en font l'estimateur le plus utilisé pour l'estimation non paramétrique d'une fonction de survie (voir par exemple ce billet et les ressources associées).

Toutefois, il présente un biais négatif, c'est à dire qu'il sous-estime en moyenne la vraie valeur de la fonction de survie. Dans un contexte de rentes cela peut s'avérer pénalisant.

Il existe des méthodes, utilisant la technique du Jackniffe (introduite par Quenouille en 1956) pour diminuer ce biais.

Ces techniques sont présentées en détail dans l'article :

STUTE W. [1995] The statistical analysis of Kaplan-Meier integrals. Analysis of censored data (Pune, 1994/1995), 231--254, IMS Lecture Notes Monogr. Ser., 27, Inst. Math. Statist., Hayward, CA,  1995.

qui pourra être utile pour les applications pratiques dans un contexte de rentes.

Le générateur WELL

Nous évoquions ici il y a quelques jours la nouvelle version du Mersenne Twister, qui s'avère être un générateur de nombres aléatoires très performant.

Pierre L'Ecuyer propose un générateur alternatif, plus performant mais un peu plus lent, le générateur WELL, dont on pourra trouver la justification théorique dans un article rédigé avec Panneton et Matsumoto (l'un des concepteurs du Mersenne Twister) et une implémentation en C ici. Une implémentation dans le package randtoolbox du logiciel R est en cours.

De manière plus générale, on peut signaler l'excellent site "pLab" qui fournit de nombreuses ressources théoriques et pratiques sur la simulation.

Du "stochastique dans le stochastique" ?

En fonction du contexte on peut être amené à utiliser la probabilité historique ou la probabilité risque neutre (voir ce billet). Typiquement lorsque le résultat cherché est la valeur d'un actif, d'une provision, etc. les probabilités affectées à chaque état du monde sont définies par la probabilité risque neutre et lorsqu'il s'agit de déterminer un niveau de capital en référence à un quantile ou de projeter des décisions de gestion c'est la probabilité historique qui est utilisée.

Ainsi dans le cadre d'une projection d'un portefeuille au-delà d'un an pour déterminer un niveau de SCR on devra :

    - projeter sous la probabilité historique l'actif et le passif, ce qui permet d'évaluer chaque année la probabilité d'insuffisance de l'actif ;

    - calculer chaque année la valeur de l'actif, qui nécessite la projection en probabilité risque neutre, à partir de cette date, des flux futurs.

Lorsque des approches par simulation sont utilisées, on voit donc que le volume des calculs peut devenir très important. Il est donc utile de recourir autant que possible à des formules fermées pour la détermination de la valeur de l'actif à chaque période.