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ORSA épargne : quels indicateurs de risque ?

Nous présentions dans un précédent billet une méthodologie de calcul basée sur des sélections de trajectoires. L'idée de cette méthode est de déterminer, en amont des simulations primaires, les simulations secondaires pouvant s'évérer pertinentes à suivre dans le cadre du processus d'ORSA. Nous présentons ci-après un ensemble de indicateurs quui pourront être suivis :

• Hausse et ou baisse des taux : dépend de l’écart de duration (et de convexité) et de la présence de TMG supérieur à la moyenne des taux courts.
• Baisse du rendement action.
• Baisse globale de la rentabilité du portefeuille (effet combiné d’une hausse des taux et d’une baisse du rendement action et immobilier).
• Hausse des spread (sur les obligations d’état et les obligations privées).
• Hausse ou baisse des rachats.
• Proxy de MCEV.

Ce dernier indicateur nous semble particulièrement intéressant dans le sens où il peut être retenu quel que soit le profil de risque de la compagnie.

Dans une logique de prise en compte du principe de proportionnalité, le proxy retenu sera plus ou moins élaboré : de la simple application des principes IFRS 4 phase 1 à une application plus élaborée de méthodes de réplication par formules fermées.

Un modèle ORSA pour des contrats d'épargne

Le calcul du SCR d'un portefeuille d'épargne dans une approche modèle interne nécessite, on l'a vu ici, de mettre en oeuvre des techniques d'optimisation des calculs.

La mise en place d'un modèle ORSA ajoute un degré de complexité supplémentaire, puisqu'il s'agit de projeter les distribution du SCR et du taux de couverture (ou du moins certains points bien choisis de ces distributions) sur l'horizon du plan stratégique.

Si des solutions simples peuvent être proposées en assurance non-vie (voir par exemple ce modèle), la complexité des interactions actif-passif rend la tâche a priori plus complexe en assurance vie et notamment en épargne.

Sur la base du contat que la valeur best estimate des engagements d'un contrat d'épargne se situe en général dans une fourchette de 95 % à 105 % de la valeur de la provision mathématique, ce travail propose, via une approximation analytique du coefficient permettant de transformer une PM en best estimate, un cadre permettant de projeter des SCR sans contrainte significative de temps de calcul.

Ce type d'approche permet de répondre dans de bonnes conditions aux exigences de l'ORSA.

Calculer un SCR dans une approche modèle interne

Le calcul du SCR dans le cadre d'un modèle interne en assurance vie est un sujet délicat d'un point de vue technique et qui est souvent abordé en ajoutant une "couche" de simulations en probabilité historique à un modèle de calcul de best estimate utilisant lui-même des simulation en probabilité risque neutre. Cela conduit aux approches dites "simulation dans la simulation" qui s'avèrent lourdes en mettre en oeuvre et à calibrer.

De nombreuses méthodes d'optimisation sont examinées, dont on trouveras un bref panorama dans cette présentation, qui développe plus particulièrement l'application dans le contexte d'assurance de l'algorithme LSM proposé initialement pour calculer des prix d'options américaines.

Nous reviendrons prochainement ici sur des approches alternatives basées sur des approximations du best estimate à partir de formules fermées.

Corrélation, dépendance et causalité

Ce sujet fait l'objet de nombreuses réflexions (voir par exemple le billet que lui a consacré A. Charpentier sur son blog), mais aussi de nombreuses et récurrentes erreurs dans les modèles ; c'est pourquoi nous apportons ici une contribution supplémentaire.

1-Que mesure le coefficient de corrélation ?

Le coefficient de corrélation linéaire (introduit par K. Pearson en 1896) a pour objectif de quantifier le degré de dépendance entre deux variables. La pertinence de cette mesure a très vite été contestée (notamment par M. Fréchet en 1934) et il s'est avéré que le coefficient de corrélation n'est pas au sens mathématique du terme une mesure de dépendance. Il suffit pour s'en convaincre de considérer une variable symétrique X et Y=X^2. Y est évidemment extrêmement dépendante de X, puisque la connaissance de X détermine Y, mais pourtant r(X,Y)=0. D'autres mesures mathématiquement rigoureuses de la dépendance ont depuis été introduites (le t de Kendall et le r de Spearmann étant les plus connues). Le coefficient de corrélation linéaire ne mesure la dépendance que dans le cas très particulier de vecteurs gaussiens.

Au global, on peut conclure que la référence au taux de corrélation pour mesurer l'intensité de la dépendance entre variables aléatoires est très contestable et que l'usage de cette mesure conduit à des erreurs d'interprétation récurrentes.

2- Dépendance et causalité

Une fois mesurée l'intensité de la dépendance entre deux variables, une autre question est de savoir s'il existe un lien de causalité entre ces variables. Si l'existence d'un lien de causalité induit la dépendance entre les 2 variables, la réciproque n'est pas vraie.

Ainsi les 3 situations ci-dessous (reprises de MOORE et McCABE [2001]) représentant différents liens de causalité (matérialisés par les flèches) peuvent conduire à une mesure de dépendance identique :




Une autre manière de se convaincre que la mesure d'une dépendance ne permet en aucun cas de conclure à un lien de causalité est de remarquer que les mesures de dépendance sont symétriques, mais pas les liens de causalité, qui ont évidemment un sens.

3- En conclusion

Déduire de l'existence d'une corrélation entre deux séries de données une relation de causalité entre les deux variables constitue une erreur de raisonnement : l'existence de la corrélation implique simplement que les deux variables ne sont pas indépendantes, mais ne renseigne en rien sur un éventuel lien de causalité. On sait d'ailleurs depuis les travaux de K. Popper sur la connaissance que celle-ci étant un processus hypothético-déductif, l'observation des seuls faits ne permet pas de faire des prédictions.

Références :

FRECHET M. [1934], « Sur l’usage du soi-disant coefficient de corrélation », Rapport pour la 22e session de l’IIS à Londres, Bulletin de l’IIS.

MOORE D.S., McCABE G.P. [2001] Introduction to the Practice of Statistics, W.H. Freeman & Company, New York, 3ème édition, page 208

La gestion CPPI revisitée par la théorie de la viabilité

Nous évoquions ici-même il y a quelques jours la parution du livre de J.P. Aubin sur les dernières avancées de la théorie de la viabilité. Beaucoup moins ambitieux, mais illustratif et plus facile d'accès, l'article

Stochastic and Tychastic Approaches to Guaranteed ALM Problem

propose une version viabiliste du classique problème de gestion d'un fonds par la règle du CPPI.

Elle permet de calculer à la date d’investissement, en fonction d’un plancher et d’un modèle de prévision des bornes inférieures des rendements futurs du sous-jacent,  l’investissement garanti minimum (fonds propres) et la règle de gestion fournissant l’exposition (ou le nombre de titres) à chaque date jusqu’au temps d’exercice lorsque sera contenu le rendement.   Cette règle garantit que quelque soit le rendement compatible avec le modèle de prévision, la valeur du portefeuille sera supérieure au plancher.

L'approche tychastisque, au lieu de définir plus ou moins arbitrairement une distribution des rendements, s'appuie sur la donnée de la "pire situation possible", qui s’exprime par les bornes inférieures des rendements (qui peuvent être calculées de diverse manière, à l’aide de modèles probabilistes  ou statistiques, des procédés d’extrapolation, etc.).  Les rendements supérieurs à ces bornes inférieures décrivent dans cet exemple simple la « correspondance tychastique », autre façon de décrire l’incertitude. La connaissant, et connaissant les contraintes décrites par le plancher, le  « noyau de viabilité garanti » calculé par ces techniques fournit l’investissement garanti minimum et, surtout, la règle de gestion. Puisque l’approche tychastique permet d’utiliser à chaque instant le rendement réalisé (supposé être supérieur à la borne inférieure décrivant le « pire des cas »)  auquel on associe la valeur effective du portefeuille, et non sa moyenne,   qui permet de garantir la non-ruine. Le fait de devoir décrire ce que l'on considère comme "le pire des cas" est dans l'esprit identique à une approche par scénario (le scénario unique du QIS typiquement) et est finalement une manière  plus directe de traiter le risque.

Le cadre proposé peut s'étendre à de nombreuses problématiques d'assurance : détermination d'une allocation stratégique, construction d'une couverture dynamique pour des garanties dans un contrat variable annuities, etc.

Un modèle quantitatif dans une perspective ORSA en assurance non-vie

La mise en place d'un processus d'ORSA robuste constitue une composante importante du déploiement du dispositif Solvabilité 2. Alors que le pilier 1 repose sur une analyse fine des risques portés par l'entité dans une logique de run-off, la mise en oeuvre de l'ORSA repose sur une vision plus synthétique des risques et de leur impact en termes de déformation du profil de risque initial (et du taux de couverture). Cette déformation doit être évaluée en tenant compte des nouvelles primes acquises, ce qui est un exercice a priori délicat.

Ce document de travail propose un modèle permettant de modéliser la déformation de la distribution du taux de couverture de l'exigence de marge réglementaire (SCR) en fonction de la dynamique des risques en jeu : tarification, provisionnement, risque financier et, enfin, risque business associé à l'incertitude sur le volume des primes futures.

Un tel modèle trouve sa place dans l'ensemble des outils à déployer dans le cadre de l'ORSA en fournissant à un organisme assureur le moyen de mesurer l'impact de choix de gestion (relatifs au niveau des primes, à l'allocation d'actifs, au mix-produit, etc.) sur sa couverture de la marge.

Il lui permet notamment d'évaluer la probabilité de non couverture sur un horizon donné ou, plus généralement, de non respect d'un seuil minimal de couverture d'imposerait la gouvernance interne. Il s'agit donc d'un outil d'aide à la décision précieux. Cet outil, qui conduit à répondre à l'exigence du régulateur de mesurer l'effet de la production future sur l'exigence de marge et sa couverture, intervient en aval du modèle utilisé dans le cadre du pilier 1, qu'il vient compléter. En particulier, il peut être déployé sur la base du modèle standard comme d'un modèle interne.

Mise en place d'un processus d'appétit pour le risque

Nous avions évoqué dans un billet précédent les dimensions à retenir dans le cadre de la mise en place d'un processus d'ORSA. Nous revenons dans ce billet sur les choix méthodologiques à retenir (on se limite à un horizon de 1 an mais le calcul doit être mené sur la durée du plan stratégique). De manière synthétique ce processus peut être mené de deux façons :

• Définir, pour un quantile donné et une allocation donnée, l'ANR à 1 an de la compagnie et de ce fait le montant maximal de SCR que la compagnie peut supporter puis allouer cette exigence de capital par sous module de risque (cette allocation de capital permettant à la compagnie d'exprimer sa préférence de risque).

Cette méthodologie présente l'avantage d'être peu consommatrice en termes de temps de traitement mais ne s'avère exacte que sous certaines conditions. En effet ceci revient à considérer qu'un ANR supérieur conduirait à une probabilité de couverture du SCR supérieure. Or ceci peut s'avérer faux. A titre d'exemple, considérons une compagnie commercialisant un unique contrat d'assurance RC automobile présentant un ratio compris entre 71% et 100%. D'une manière approchée, on peut considérer que le besoin de fonds propres relatif au risque de tarification et de provisionnement correspond à 29% des primes. De ce fait, toute augmentation du montant de cotisations conduit à un ANR supérieur mais conduit également à diminuer la probabilité de couvrir à 1 an le SCR. De plus cette méthodologie ne permet pas de définir l'allocation optimale étant donné qu'elle ne permet de tester qu'une seule allocation initiale (or cette allocation ne conduit pas forcément à une contrainte optimale sur une dimension de type valeur).

• Calculer directement la probabilité de couverture du SCR à 1 an et ce pour toute allocation possible (ou du moins appartenant à un ensemble d'allocations raisonnablement admissibles).

Cette méthodologie présente l'avantage de permettre de choisir les limites de tolérance optimales mais elle a pour inconvénient de présenter un temps de traitement qui peut être potentiellement lourd. Cependant en fonction des différents processus permettant de modéliser l'actif et le passif, ce calcul peut être mené d'une manière semi-analytique voir analytique. A titre d'exemple on présente ci-dessous le résultat d'un tel processus en reprenant l'exemple présenté infra.

Recalibrer les chocs du modèle standard ?

On a formulé ici-même il y a quelques mois un avis très critique sur l'idée de recalibrer les chocs du modèle standard pour construire un modèle interne partiel en prévoyance (voir ce billet).

Toutefois, le recalibrage de chocs peut être utile dans le contexte de la mise en place d'un processus d'ORSA. En effet, on peut être conduit à déterminer un montant de capital à risque à un niveau différent du niveau de référence de 99,5 % fixé pour le SCR, ou, en d'autres termes, un quantile arbitraire de la distribution de la marge actif-passif (NAV). On aura ainsi typiquement besoin de déterminer les quantiles à 90 % ou à 95 %.

On peut pour cela utiliser les études de facteurs de risques disponibles, notamment celles mentionnées dans la bibliographie des Consultation Papers et dans les spécifications techniques des QIS (3, 4 et 5). On peut aussi remarquer que pour les lois normales et log-normales l’écart entre le quantile d’ordre p et l'espérance de la distribution est proportionnel à l'espérance de la distribution, le facteur de proportionnalité ne dépendant que du coefficient de variation de la distribution du facteur de risque. Pour une loi log-normale, ce facteur s'écrit :

Supposons par exemple que l'on doive recalibrer le choc pour le risque de mortalité. Sous l'hypothèse que la distribution du taux de décès à l’âge x est log-normale d’espérance égale au taux de décès, le choc à la hausse de 15 % prévu par le QIS5 conduit alors à l’équation suivante pour le coefficient de variation de la distribution :

On en déduit alors que

ou en d'autres termes qu'en appliquant un choc de 7 % sur le taux conditionnel de décès on se positionne sur le quantile à 90 %. Cette technique permet donc de recalibrer simplement des chocs pour changer le quantile de référence en supposant implicitement le choc proposé par le QIS 5 convenablement calibré pour représenter le quantile à 99,5 %. Le calcul du capital à risque peut alors être effectué avec les outils standards.

Prix de marché du risque et modèle de taux

Récemment nous mentionnions l'intérêt de l'utilisation, dans les générateurs de scénarios économiques utilisés en assurance, du modèle de Vasicek étendu (ou généralisé). Ce modèle est par construction un modèle de détermination de prix d'obligation zéro-coupon et, à ce titre, décrit et calibré dans l'univers risque neutre.

Par ailleurs, dès lors que l'on se place dans une logique de modèle interne, ou dans l'optique de certains indcateurs ORSA, le modèle doit également être décrit dans l'univers historique, ce qui impose l'identification de la forme du prix de marché du risque implicitement associé à ce modèle.

On peut montrer qu'il est possible de retenir ici pour la dynamique historique du taux court un processus d'Ornstein-Uhlenbeck (voir par exemple ce document), qui s'avère en  général bien adapté aux séries historiques disponibles, ce qui revient à spécifier le prix de marché du risque.

Il est donc possible de construire un modèle de taux simple, cohérent par construction avec les prix de marché des ZC observés à la date initiale et utilisable aisément à la fois dans une vision historique et risque neutre.

Générateur de scénarios économiques : choix du modèle de taux

Le modèle de taux est un composant essentiel d'un générateur de scénarios économiques (GSE). La cohérence avec les valeurs de marché impose d'utiliser un modèle prenant la courbe des taux ZC initiale comme paramètre. De ce fait, les modèles factoriels usuels (Vasicek et CIR) ne peuvent être utilisés et il est naturel de se tourner vers les modèles de déformation de la courbe des taux, dont  celui proposé par Heath, Jarrow et Morton (HJM) en 1990 est sans doute le plus connu. D'autres cadres ont été proposés, comme par exemple le modèle BGM (pour une présentation de ces modèles, on pourra par exemple consulter ce document de synthèse).

Le modèle HJM le plus simple, préservant des formules fermées pour le prix des ZC et la propriété de Markov pour le taux court est le modèle de Hull & White, également appelé modèle de Vasicek généralisé.

Ce modèle fournit une représentation simple de la dynamique des prix des ZC prenant en compte la courbe initiale comme paramètre. A ce titre il constitue une référence dans le choix d'un modèle de taux conforme aux exigences de Solvabilité 2, notamment pour le calcul des provisions best estimate sur les contrats d'épargne.